📌 What is a Triangular Number? (ତ୍ରିଭୁଜାକାର ସଂଖ୍ୟା କ’ଣ?)

A triangular number is a number that can be arranged in the shape of a triangle using dots.

ତ୍ରିଭୁଜାକାର ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି ସେହି ସଂଖ୍ୟା, ଯାହାକୁ ଡଟ୍ (•) ଦ୍ୱାରା ତ୍ରିଭୁଜ ଆକାରରେ ସଜାଇ ପାରାଯାଏ।

---

🔢 First Few Triangular Numbers (ପ୍ରଥମ କିଛି ତ୍ରିଭୁଜାକାର ସଂଖ୍ୟା)

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55 …

👉 These numbers increase in a pattern.

👉 ଏହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ଏକ ନିୟମିତ କ୍ରମରେ ବଢ଼େ।

---

📐 Formula of Triangular Number (ତ୍ରିଭୁଜ ସଂଖ୍ୟାର ସୂତ୍ର)

$$T_n = \frac{n(n+1)}{2}$$

👉 Example (ଉଦାହରଣ):

ଚତୁର୍ଥ ତ୍ରିଭୁଜାକାର ସଂଖ୍ୟା |

---

🔷 Square Numbers (ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା)

📌 What is a Square Number? (ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା କ’ଣ?)

A square number is a number obtained by multiplying a number by itself.

କୌଣସି ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାକୁ ନିଜ ସହ ଗୁଣନ କଲେ ଯେଉଁ ନୂତନ ସଂଖ୍ୟା ଉତ୍ପନ୍ନ ହୁଏ ତାହାକୁ ଉକ୍ତ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା କୁହାଯାଏ |

---

🔢 First Few Square Numbers (ପ୍ରଥମ କିଛି ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା)

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 …

---

🔗 Relation Between Triangular and Square Numbers (ତ୍ରିଭୁଜାକାର ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାର ସମ୍ପର୍କ)

⭐ Key Relation (ମୁଖ୍ୟ ସମ୍ପର୍କ)

The sum of two consecutive triangular numbers is a square number.

ଦୁଇଟି ପରସ୍ପର ଲଗାତାର ତ୍ରିଭୁଜାକାର ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗ ଏକ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ହୁଏ।

---

📊 Formula (ସୂତ୍ର)

$$n^2 = T_n + T_{n-1}$$

---

🧠 Example 1 (ଉଦାହରଣ ୧)

T₄ = 10
T₃ = 6$$10 + 6 = 16 = 4^2$$

👉 16 is a square number
👉 16 ହେଉଛି ଏକ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା

---

🧠 Example 2 (ଉଦାହରଣ ୨)

T₅ = 15
T₄ = 10$$15 + 10 = 25 = 5^2$$

Questions on Triangular Number in Odia? (ତ୍ରିଭୁଜାକାର ସଂଖ୍ୟା?)

1. ତ୍ରିଭୁଜାକାର ସଂଖ୍ୟା କାହାକୁ କୁହାଯାଏ?
2. ପ୍ରଥମ ପାଞ୍ଚଟି ତ୍ରିଭୁଜାକାର ସଂଖ୍ୟା ଲେଖ।
3. 1 ରୁ 5 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ଯୋଗ କେତେ? ଏହା କେଉଁ ତ୍ରିଭୁଜାକାର ସଂଖ୍ୟା?
4. $T_n = \frac{n \times (n + 1) }{n}$ ସୂତ୍ରରେ $n$ କ’ଣ ସୂଚାଏ?
5. $T_2$ ର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
6. $T_7$ ର ମୂଲ୍ୟ କେତେ?
7. 15 କି ଏକ ତ୍ରିଭୁଜାକାର ସଂଖ୍ୟା? କାରଣ ଦିଅ।
8. 21 କେଉଁ କ୍ରମର ତ୍ରିଭୁଜାକାର ସଂଖ୍ୟା?
9. ଦୁଇଟି କ୍ରମାଗତ ତ୍ରିଭୁଜାକାର ସଂଖ୍ୟା ଲେଖ।
10. 28 କୁ ତ୍ରିଭୁଜାକାର ସଂଖ୍ୟା ଭାବେ ପ୍ରକାଶ କର।
11. ତ୍ରିଭୁଜାକାର ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ଗଠନ କେମିତି ହୁଏ?
12. 10ମ ତ୍ରିଭୁଜାକାର ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
13. 36 କି ଏକ ତ୍ରିଭୁଜାକାର ସଂଖ୍ୟା? ଯାଞ୍ଚ କର।
14. ତ୍ରିଭୁଜାକାର ସଂଖ୍ୟା ଓ ସାଧାରଣ ସଂଖ୍ୟାର ତଫାତ କ’ଣ?
15. 45 କେଉଁ ତ୍ରିଭୁଜାକାର ସଂଖ୍ୟା ତାହା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
16. ପ୍ରଥମ 8ଟି ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
17. 55 କୁ ତ୍ରିଭୁଜାକାର ସଂଖ୍ୟା ଭାବେ ଲେଖ।
18. ତ୍ରିଭୁଜାକାର ସଂଖ୍ୟାର ବ୍ୟବହାର କେଉଁଠି ହୁଏ?
19. 66 କେଉଁ କ୍ରମର ତ୍ରିଭୁଜାକାର ସଂଖ୍ୟା?
20. ତ୍ରିଭୁଜାକାର ସଂଖ୍ୟାର ଏକ ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କରି ବୁଝାଅ।

---

🎯 Summary (ସାରାଂଶ)

• Triangular numbers form triangle patterns.
  ତ୍ରିଭୁଜାକାର ସଂଖ୍ୟା ତ୍ରିଭୁଜ ଆକାରରେ ଥାଏ।
• Square numbers are obtained by multiplying a number by itself.
  ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି $n\times n$ ର ଫଳ।
• Sum of two consecutive triangular numbers = square number.
  ଦୁଇ ଲଗାତାର ତ୍ରିଭୁଜ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗ = ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା।